発信力道場

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トーラスコンパクト化

閉弦のトーラスコンパクト化を考える。まずは空間次元一つがコンパクト化されているとする。

\begin{align}
X(\sigma +2\pi)=X(\sigma)+2\pi R w,\quad w\in \mathbb Z
\end{align}
Rはコンパクト化の半径である。Xの全微分をコンパクト化方向に積分すると次のようになる。

\begin{align}
\oint dX =  X(\sigma +2\pi)-X(\sigma)=2\pi R w
\end{align}
一方で

\begin{align}
\oint dX = \oint( dz \partial X+d\bar z \bar \partial X)
\end{align}
とも書ける。ローラン展開(8.2.4)を代入して

\begin{align}
\oint dX = 2\pi\Big(\frac{\alpha '}{2}\Big)^{1/2}(\alpha_0-\tilde \alpha_0)
\end{align}
を得る。\bar zでは経路が反転することに注意。

一方で時空の並進のネーターカレントはj_a^\mu = i\partial_a X^\mu/\alpha'であり、空間積分

\begin{align}
p^\mu =& \frac{1}{\pi}\oint dx^a j_a^\mu \\
=& \frac{1}{\pi}\int d\sigma^2 \sqrt g \partial_a j^{a\mu} \\
=& \frac{1}{2\pi}\int dzd\bar z  \partial_a j^{a\mu} \\
=& -\frac{1}{2\pi i}\oint (j^{z\mu} d\bar z - j^{\bar z \mu} d z )\\
=&\frac{1}{2\pi \alpha'}\oint (dz \partial X^mu-d\bar z \bar \partial X^\mu)\\
=& (2\alpha')^{-1/2}(\alpha_0^\mu+\tilde \alpha_0^\mu)
\end{align}
となる(一般性のために\muを付けたが、今は\mu=25のみを考えている)。
非コンパクト次元では常に w =0なので\alpha_0^\mu=\tilde \alpha_0\muとなるが、コンパクト次元ではw\neq 0となりうるので一般に\alpha_0^\mu\neq \tilde \alpha_0\muである。

 X = X_L(z)+X_R(\bar z)と分離し、(2.4.4)に代入する。(8.2.4)の展開を代入すればVirasoro演算子(8.2.8)を得る。質量殻条件は(8.3.1)(8.3.2)となる。

\begin{align}
m^2 = \frac{n^2}{R^2}+\frac{w^2 R^2}{\alpha'^2}+\frac{2}{\alpha'}(N+\tilde N-2)
\end{align}