徒然なるままにQM

ただのメモ帳

開弦と向き付けられてない弦の1ループグラフ

(7.4.1)以降を解説する。
向き付けられてない閉弦の1ループグラフを考える。経路積分\Omega = 1の状態のみを取り出す。分配関数は次のように書ける。

\begin{align}
Z =& \int^\infty_0 \frac{dt}{2t}\mathrm{Tr'}_c\Big(\frac{1+\Omega}{2}\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]\Big) \\
=& \int^\infty_0 \frac{dt}{4t}\mathrm{Tr'}_c\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]+\int^\infty_0 \frac{dt}{4t}\mathrm{Tr'}_c\Big(\Omega\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]\Big)
\end{align}
第一項がトーラスで第二項がクラインボトルを表している。これは次のようにしてわかる。
第一項は定義より明らか。第二項の\Omegaは終状態の空間方向の向きづけを反転させるので次の図のようになる。
f:id:ground0state:20161121211650p:plain:w200
これはまさにクラインボトルである。

向き付けられてない開弦の1ループグラフは円筒とメビウスの輪の和になる。