徒然なるままにQM

ただのメモ帳

Ward恒等式

1巻(2.6.11)以降の式の導出を行う。
(2.6,12)の次の電荷経路積分を考える。
\begin{align}
\hat Q_1(C_1) \hat Q_2(C_2)-\hat Q_1(C_3) \hat Q_2(C_2)
\end{align}
相関関数は時間順序積をとるので
\begin{align}
\hat Q_1 \hat Q_2-\hat Q_2 \hat Q_1 = [\hat Q_1, \hat Q_2]
\end{align}
の期待値を求めることになる。ここで$C_1=C_2=C_3$の極限を考えていることに注意。

経路積分中では古典場として計算するので
\begin{align}
\int[\mathrm{measure}]\{Q_1(C_1)Q_2(C_2)-Q_1(C_3) Q_2(C_2)\}e^{-S}
\end{align}
と書かれる。したがって場の順序に意味はない。経路をまとめることができて
\begin{align}
Q_1(C_1)Q_2(C_2)-Q_1(C_3) Q_2(C_2)=Q_1(C_1-C_3)Q_2(C_2)
\end{align}
とかける。これは
\begin{align}
\int_{C_1-C_3}\frac{dz}{2\pi i} \int _{C_2}\frac{dz'}{2\pi i}j_1(z)j_2(z')
\end{align}
となる。先に$C_1-C_3$の積分をすることを考えると、$j_1(z)j_2(z')$のOPEの留数を拾ってくればよいとわかる。
これで(2.6.14)が得られた。