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徒然なるままにQM

ただのメモ帳

OPE

ポルチンスキー 物理

2次元CFのOPEは自由場理論を前提としていることに注意。
正規順序積を次のように定義する。
\begin{align}
:\phi(z_1)\phi(z_2):=\phi(z_1)\phi(z_2)-<\phi(z_1)\phi(z_2)>
\end{align}
定義より正規順序積の期待値はゼロ。EOMも接触項が排除される。
\begin{align}
\partial \bar\partial:\phi(z_1)\phi(z_2):=0
\end{align}
基本場を$\{\phi_i\}$とするとOPEは
\begin{align}
\phi(z_i)\phi(z_j)=\sum C_{ij}^k(z_1,z_2)\phi_k(z_2)
\end{align}
と展開できることをいう。ここでこの式は演算子方程式の意味ではなく、ほかの任意の演算子との相関関数を考えた時にこの関係が成り立つという意味である。
ここで期待値は時間順序積で定義されているので、この展開も時間順序積が変わらない範囲でのみ展開可能である。円筒座標系をとると、1巻p.45のように収束半径を考えられる。

例として$\phi(z_1)\phi(z_2)$のOPEを考える。正規順序積より
\begin{align}
\phi(z_1)\phi(z_2)=<\phi(z_1)\phi(z_2)>+:\phi(z_1)\phi(z_2):
\end{align}
$z_1$を固定し$:\phi(z_1)\phi(z_2):$を$z_2$の関数とみなす。正規順序積の定義より古典EOMを満たす。一般に自由場のEOMはラプラス方程式になる。ラプラス方程式の解は局所的にテイラー展開できるので
\begin{align}
\phi(z_1)\phi(z_2)=<\phi(z_1)\phi(z_2)>+\sum_{n=0}\frac{1}{n!}(z_2-z_1)^n:\phi(z_1)\partial^n\phi(z_1):
\end{align}
とかける。第一項はc数で、第二項以降が演算子である。二つの異なる位置にある演算子の積が、一つの$\phi\partial^n\phi(z_1)$という演算子で展開できた。

複数の積の時は、それぞれの位置で古典運動方程式が成り立たないといけないので、それぞれ縮約をとった項を減算する。
\begin{align}
&:\phi(z_1)\phi(z_2)\phi(z_3)\phi(z_4):\\
&=\exp\Big[ -\frac{1}{2}\int d^2zd^2z' <\phi(z)\phi(z')>\frac{\delta}{\delta \phi(z)}\frac{\delta}{\delta \phi(z')} \Big]\phi(z_1)\phi(z_2)\phi(z_3)\phi(z_4)
\end{align}