ワイル不変の意味

Worldsheetの運動を表すPolyakov作用は次のように書ける。

\begin{align} S=\int d^2x \gamma^{1/2} \gamma^{ab}g_{\mu\nu}\partial_a\phi^\mu \partial_b\phi^\nu \end{align}

$X^\mu$は$d$次元Target Spaceの座標を表しており、$\mu$は$0$から$d-1$まで走る。$a,b=1,2$でWorld sheetの座標を表している。この作用では$\gamma^{ab}$は運動項を持たないので補助場である。

Polyakov作用は世界面のワイル変換に対して不変になっている。

\begin{align} \gamma'_{ab} = \exp(2\omega)\gamma_{ab} \end{align}

\begin{align} \gamma'^{ab} = \exp(-2\omega)\gamma^{ab} \end{align}

\begin{align} \gamma'^{1/2} = \exp(2\omega) \gamma^{1/2} \end{align} 

これは南部・後藤作用にはなかった。どうしてこのような対称性が現れたのか。

 

Polyakov作用の時点ではWorldsheetの計量とTarget Spaceの計量は独立でなんの関係もなかった。$\gamma_{ab}$の運動方程式を求めてみる。 

\begin{align}\label{eom}  \gamma^{-1/2}\gamma_{ab} = (\mathrm{det}h)^{-1/2}h_{ab} \end{align} 

ここで、$h_{ab} = g_{\mu\nu}\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu $である。式(\ref{eom})から$\gamma_{ab}$は誘導計量$h_{ab}$に比例していることがわかる。この運動方程式を通して、Worldsheetの計量とTarget Spaceの計量に関係性が生じる。もし、$\gamma_{ab} = h_{ab}$であれば、Worldsheetの計量はTarget Spaceの計量を誘導したものになる。しかし、この運動方程式は$\gamma_{ab}$のワイル変換で不変になっている。したがって$\gamma_{ab}$は誘導計量のワイル変換文だけの自由度をredundantにもつことになる。ワイル変換同値なWorldsheetは、Target Spaceに全く同じに埋め込まれることを表している。

例えると、Polyakov作用のWorldsheetの理論として半径$1$の$S^2$も半径$10$の$S^2$もTarget Spaceに埋め込むときは全く同じ$S^2$になるということである。Target Spaceの実体の弦からすると、このワイル対称性はRedundantなもので、まさにゲージ対称性である。

 $\gamma_{ab}$は補助場であり経路積分の時には運動方程式で消えてしまうことを考慮すれば、南部・後藤作用と等価である。