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徒然なるままにQM

ただのメモ帳

ボソン弦のT-双対性

閉弦の質量スペクトル よりでも軽くなる状態が存在する。これはKK粒子を持つ通常の場の理論には見られないことである。質量スペクトルは の変換の下で不変である。この変換を(8.2.7)に行うと となることがわかる。 そこで次のような場を定義する。 この負の…

トーラスコンパクト化

閉弦のトーラスコンパクト化を考える。まずは空間次元一つがコンパクト化されているとする。 はコンパクト化の半径である。の全微分をコンパクト化方向に積分すると次のようになる。 一方で とも書ける。ローラン展開(8.2.4)を代入して を得る。では経路が反…

開弦と向き付けられてない弦の1ループグラフ

(7.4.1)以降を解説する。 向き付けられてない閉弦の1ループグラフを考える。経路積分での状態のみを取り出す。分配関数は次のように書ける。 第一項がトーラスで第二項がクラインボトルを表している。これは次のようにしてわかる。 第一項は定義より明らか。…

向き付けられていない弦

向き付けられていない弦の状態を定義する。これは世界面が向きづけられていない多様体になることを意味しない。世界面そのものは向きづけられた多様体として扱い、状態空間のレベルで向きの変換に対し不変な状態飲みを取り出してヒルベルト空間を構成する。 …

スカラーの期待値

(6.2.18)を計算するための公式をメモ。

リーマン面に対する測度

(5.4.7)以降の解説をする。 この節はゴースト場の挿入が経路積分の計算でどのように計算されるかを説明している節である。(5.4.7)の前の式までは、モジュライは計量に押し付けられていたが、それを推移関数に押し付けることで計算を進めている。 まずBeltram…

トーラスモジュライ

トーラスの計量が(5.1.9)のように書けることを示そう。トーラスのトポロジーから座標は$x\sim x+ 2\pi,y \sim y+2\pi$のように周期的に書けているはずである。これを前提とする。 まず、トーラスが凸凹している可能性があるので、きれいな形=曲率がゼロのト…

零質量閉弦頂点演算子

(3.6.15)を示す。世界面の計量を共形ゲージにとる。 \begin{align} g_{ab}=e^{2\omega} \delta_{ab} \end{align} 世界面の2点$(x,y)=(z^1,z^2),(x,y)=({z'}^1,{z'}^2)$間の距離は次のように書ける。 \begin{align} d(z,z') = \int_z^{z'} \sqrt{g_{ab} d x^a…

Polyakovの方法での頂点演算子

(3.6.6)は \begin{align} \Delta(x,x')=\frac{\alpha'}{2}\log (\int \sqrt{ds^2})^2 \end{align} ワイル変換後の距離は \begin{align} ds^2 = e^{2\omega}g_{ab}dx^a dx^b \end{align} とかける。十分単距離で$\mathcal O((x-x')^2)$まで展開すると \begin{…

二重化のトリック

(2.6.28)の意味を考える。 正則な演算子とその対となる反正則な演算子があり、それらが複素平面の上半平面で定義されているとき、これらを複素平面全体で定義された一つの演算子にまとめることができる。 エネルギーテンソル$T(z),\bar T(\bar z)$を次のよう…

Ward恒等式

1巻(2.6.11)以降の式の導出を行う。 (2.6,12)の次の電荷の経路積分を考える。 \begin{align} \hat Q_1(C_1) \hat Q_2(C_2)-\hat Q_1(C_3) \hat Q_2(C_2) \end{align} 相関関数は時間順序積をとるので \begin{align} \hat Q_1 \hat Q_2-\hat Q_2 \hat Q_1 = […

OPE

2次元CFのOPEは自由場理論を前提としていることに注意。 正規順序積を次のように定義する。 \begin{align} :\phi(z_1)\phi(z_2):=\phi(z_1)\phi(z_2)- \end{align} 定義より正規順序積の期待値はゼロ。EOMも接触項が排除される。 \begin{align} \partial \…

2次元CFTで使う「複素座標」

ユークリッド化はされているとする。世界面の座標は$(x,y)$で張られているとする。複素座標 \begin{align} z=x+iy, \end{align} を定義する。複素共役にはバーをつける。 \begin{align} \bar z = x-iy. \end{align} すると世界面上の場は$(z,\bar z)$の関数…

ワイル不変の意味

1巻p.15によるとポリヤコフ作用は世界面のワイル変換に対して不変になっている。これは南部・後藤作用にはなかった。どうしてこのような対称性が現れたのか。 まず2次元のスカラー場の作用は $ S=\int d^2x \gamma^{ab}\partial_a\phi \partial_b\phi $ とか…

ポルチンスキー【ストリング理論】復習

Polchinskiの教科書を暇なときに復習していきます 日本語版 1巻:平成24年5月20日第2刷発行 2巻:平成部年6月30日第3刷発行