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徒然なるままにQM

ただのメモ帳

ボソン弦のT-双対性

閉弦の質量スペクトル よりでも軽くなる状態が存在する。これはKK粒子を持つ通常の場の理論には見られないことである。質量スペクトルは の変換の下で不変である。この変換を(8.2.7)に行うと となることがわかる。 そこで次のような場を定義する。 この負の…

トーラスコンパクト化

閉弦のトーラスコンパクト化を考える。まずは空間次元一つがコンパクト化されているとする。 はコンパクト化の半径である。の全微分をコンパクト化方向に積分すると次のようになる。 一方で とも書ける。ローラン展開(8.2.4)を代入して を得る。では経路が反…

開弦と向き付けられてない弦の1ループグラフ

(7.4.1)以降を解説する。 向き付けられてない閉弦の1ループグラフを考える。経路積分での状態のみを取り出す。分配関数は次のように書ける。 第一項がトーラスで第二項がクラインボトルを表している。これは次のようにしてわかる。 第一項は定義より明らか。…

向き付けられていない弦

向き付けられていない弦の状態を定義する。これは世界面が向きづけられていない多様体になることを意味しない。世界面そのものは向きづけられた多様体として扱い、状態空間のレベルで向きの変換に対し不変な状態飲みを取り出してヒルベルト空間を構成する。 …

スカラーの期待値

(6.2.18)を計算するための公式をメモ。

リーマン面に対する測度

(5.4.7)以降の解説をする。 この節はゴースト場の挿入が経路積分の計算でどのように計算されるかを説明している節である。(5.4.7)の前の式までは、モジュライは計量に押し付けられていたが、それを推移関数に押し付けることで計算を進めている。 まずBeltram…

トーラスモジュライ

トーラスの計量が(5.1.9)のように書けることを示そう。トーラスのトポロジーから座標は$x\sim x+ 2\pi,y \sim y+2\pi$のように周期的に書けているはずである。これを前提とする。 まず、トーラスが凸凹している可能性があるので、きれいな形=曲率がゼロのト…

零質量閉弦頂点演算子

(3.6.15)を示す。世界面の計量を共形ゲージにとる。 \begin{align} g_{ab}=e^{2\omega} \delta_{ab} \end{align} 世界面の2点$(x,y)=(z^1,z^2),(x,y)=({z'}^1,{z'}^2)$間の距離は次のように書ける。 \begin{align} d(z,z') = \int_z^{z'} \sqrt{g_{ab} d x^a…

Polyakovの方法での頂点演算子

(3.6.6)は \begin{align} \Delta(x,x')=\frac{\alpha'}{2}\log (\int \sqrt{ds^2})^2 \end{align} ワイル変換後の距離は \begin{align} ds^2 = e^{2\omega}g_{ab}dx^a dx^b \end{align} とかける。十分単距離で$\mathcal O((x-x')^2)$まで展開すると \begin{…

二重化のトリック

(2.6.28)の意味を考える。 正則な演算子とその対となる反正則な演算子があり、それらが複素平面の上半平面で定義されているとき、これらを複素平面全体で定義された一つの演算子にまとめることができる。 エネルギーテンソル$T(z),\bar T(\bar z)$を次のよう…

Ward恒等式

1巻(2.6.11)以降の式の導出を行う。 (2.6,12)の次の電荷の経路積分を考える。 \begin{align} \hat Q_1(C_1) \hat Q_2(C_2)-\hat Q_1(C_3) \hat Q_2(C_2) \end{align} 相関関数は時間順序積をとるので \begin{align} \hat Q_1 \hat Q_2-\hat Q_2 \hat Q_1 = […

OPE

2次元CFのOPEは自由場理論を前提としていることに注意。 正規順序積を次のように定義する。 \begin{align} :\phi(z_1)\phi(z_2):=\phi(z_1)\phi(z_2)- \end{align} 定義より正規順序積の期待値はゼロ。EOMも接触項が排除される。 \begin{align} \partial \…

2次元CFTで使う「複素座標」

ユークリッド化はされているとする。世界面の座標は$(x,y)$で張られているとする。複素座標 \begin{align} z=x+iy, \end{align} を定義する。複素共役にはバーをつける。 \begin{align} \bar z = x-iy. \end{align} すると世界面上の場は$(z,\bar z)$の関数…

ワイル不変の意味

1巻p.15によるとポリヤコフ作用は世界面のワイル変換に対して不変になっている。これは南部・後藤作用にはなかった。どうしてこのような対称性が現れたのか。 まず2次元のスカラー場の作用は $ S=\int d^2x \gamma^{ab}\partial_a\phi \partial_b\phi $ とか…

ポルチンスキー【ストリング理論】復習

Polchinskiの教科書を暇なときに復習していきます 日本語版 1巻:平成24年5月20日第2刷発行 2巻:平成部年6月30日第3刷発行

量子力学の数学

最近になって量子力学の数学について真剣に考えることができたのでここにメモしたい。 可分でも何故ベクトルが非可算無限 作れるのか?(EMANの数式掲示板) リンク先でもあるように、量子力学の数学というのは非常にややこしい。 というのもフォンノイマンが…

QETとBHとエントロピー

QET(量子エネルギーテレポーテーション)を非常に簡単に説明する。登場人物はAliceとBobである。 Aliceは何らかの測定によって系にエネルギーを注入する。このとき得られた測定結果をBobに古典通信で送信する。 Bobは受信した結果をもとに系にユニタリ変換を…

ドコモケータイ補償サービス2

新しく届いたリフレッシュ品を使っていたところ、ドコモの電話アプリ「ダイヤラ」が起動できないことがわかった。ダイヤラを起動しようとすると、【問題が発生したため「ダイヤラ」を終了します。】と表示されて起動できないのだ。 インターネットで解決法を…

一般化された熱力学第二法則

ブラックホール熱力学における第二法則は面積増大側のことを指す。 ブラックホールの外側は場の時間発展がよく定義されているとする。面積増大側とは、アインシュタイン方程式が満たされていて、物質(宇宙項含む)がヌルエネルギー条件を満たしているならば…

ルノワール展

多くの印象派画家が集まる展覧会だった。 印象派は一見風景を抽象化しているように見えるが、画家たちは風景のなかの光を忠実にとらえようとした写実主義だ。 筆のストロークは短く、様々な色を重ね塗りしている。それぞれの色は明るい色ではないが、画面全…

ドコモ携帯補償サービス

もともと部屋の電波の入りが悪かったのだが、とうとう圏外になってしまった。そこでドコモの携帯補償サービスというのを使ってみた。 これは月額数百円で携帯の保険をかけておくというものである。故障の際に5000円でリフレッシュ品というほとんど新品のもの…

日本科学未来館

普段は日記に書くことなどないのだが、GWということもあって少し外出してみた。 日本科学未来館に行って「9次元からきた男」を見てきた。これはドームシアターガイアというプラネタリウムで上映されている映画である。上映時間は約30分。内容は超弦理論の簡…

自己紹介

素粒子物理学研究室で修士号取得後就職。 最近趣味で物理の復習を始めたのでそれをメモしていく。 いつまで続くがわからないがのんびり運営していく。