発信力道場

がんばって日記書きます

スロースターター

電車内の広告に

「40歳。そろそろ独立を視野にいれたい。」

とあった。そろそろて、遅くないか?

俺だったら40歳まで働いたらもうどうせ、となって起業なんかできないと思う。

起業してもすぐに定年やん。

それよかもっと若いときに好きなだけ好きな事業をすればいいのにと思う。

たぬきとこうもり

ポイントカードありますか?
いえ、ありません。

のやり取りだけで5秒は消費するので、ポイントカードを貯められるのはポイントカード付suicaだけとかやってほしい。そうすれば会計の混雑も解消するのではないだろうか。


東京の空って、頻繁に蝙蝠をみかける。茨城にいた時は全然見なかったのに。
森とか山とかないから、街の方に出てきているのか、それとも田舎にもいっぱいいるけど、街灯がないから見えなかっただけなのか。
どっちなんだろうね。

肉の日

どうも思い付いたことを記事に書きたいのに、書こうと思った頃には忘れてしまう。記憶、インスピレーションを保存できる機械があればいいのにと思う。

 

今日はめっちゃ肉を食べた。

腹が破裂しそうだ。

 

https://www.google.co.jp/amp/s/s.news.mynavi.jp/news/2017/09/07/170/%3famp

量子力学から熱力学第2法則を導出できたらしい。そのうち読みたい。

 

量子力学メモ

重ね合わせ
>線形空間

初期状態の中に波の進行方向という情報が入らなくなってしまう
>波動関数は複素

状態遷移
>内積空間

ボルン確率則
>絶対二乗可積
=L2
=ヒルベルト空間
)状態空間

可分なL2ヒルベルト空間
=無限加算基底が存在

ボソン弦のT-双対性

閉弦の質量スペクトル

\begin{align}
m^2 = \frac{n^2}{R^2}+\frac{w^2 R^2}{\alpha'^2}+\frac{2}{\alpha'}(N+\tilde N-2)
\end{align}
よりR\rightarrow 0でも軽くなる状態が存在する。これはKK粒子を持つ通常の場の理論には見られないことである。質量スペクトルは

\begin{align}
R' = \frac{\alpha'}{R} ,\quad n' = w,\quad w' =n
\end{align}
の変換の下で不変である。この変換を(8.2.7)に行うと

\begin{align}
\label{momentum_switch}
p'_L = p_L ,\quad p'_R = -p_R
\end{align}
となることがわかる。
そこで次のような場を定義する。

\begin{align}
X' = X_L(z)-X_R(\bar z)
\end{align}
この負の符号によって式(\ref{momentum_switch})が実現される。X'Xの定数部分は異なってしまうが、理論のスペクトルを決める\alpha_nなどはすべてX微分から構成されるので問題はない。したがってXX'の理論はパラメータの変換の下で等価になることがわかる。これをT-双対性という。

次に開弦のT-双対性を考える。
開弦の場合も

\begin{align}
X' = X_L(z)-X_R(\bar z)
\end{align}
の理論はスペクトルを変えない。この変換は弦の境界条件を変える効果がある。開弦っはz平面の上半平面で表された。z = x+iyとかくとy=0,\inftyが開弦の境界であった。これより

\begin{align}
\partial_x X =& \partial_x(X_L(x+iy)+X_R(x-iy))\\
=&\partial_y(-iX_L(x+iy)+iX_R(x-iy)) \\
=&-i\partial_y(X_L(x+iy)-X_R(x-iy))\\
=&-i\partial_y X'
\end{align}
となることがわかる。したがってT-双対変換は開弦の境界条件を変える。
さらに端点間の距離を求めてみよう。

\begin{align}
X'(\pi)-X'(0) =& \int dX' \\
=&\int dz \partial X'+d\bar z  \bar\partial X'\\
=&\int dz \partial X-d\bar z  \bar\partial X\\
=&2\pi \alpha' p\\
=&2\pi \alpha'\frac{l}{R}\\
=&2\pi lR'
\end{align}
ここで\partial X' = \partial X,\quad \bar\partial X' = -\bar \partial Xと運動量の定義(8.2.6)とKK運動量p=l/R,\quad l\in \mathbb zを用いた。これはT-双対な半径R' = \frac{\alpha'}{R}の円周に巻き付いていることを示している(他の次元の方向にはNeumann境界条件が課されているので、端点がくっついて閉じているわけではない)。
つまり、弦はコンパクト次元X'軸のX'=\mathrm{const}に端点をもつ。つまり、コンパクト化された時空間Xの中を泳いでいた開弦の理論は、X'=\mathrm(const)に端点を持つ開弦の理論と等価であるのだ。この弦の端点が乗っている物体こそがD-braneである(厳密にはコンパクト化された時空間Xも開弦が乗っていたわけだから最初からD-braneは存在していたのである。つまり、一方向をコンパクト化したD25-braneの理論のT-双対はD25-braneがコンパクト方向に潰れたD24-braneの理論になる)。

次に、コンパクト空間のゲージ場について考える。 U(1)ゲージ場は物理量に微分を通してしか現れないので、定数ゲージ場には普通意味がない。しかし、コンパクト空間の時は非自明な寄与をもたらす。
ゲージ場のコンパクト空間方向の積分\thetaとする。

\begin{align}
\theta = q\oint dX^{25}A_{25} = 2\pi R qA_{25}
\end{align}
よって qA_{25} = \frac{\theta}{2\pi R}とかける。ゲージ場があると正準運動量はp\rightarrow p-qAと変化する。U(1)ゲージ場と結合するのは、弦の端点であり、弦のカレント保存則よりそれぞれの端点の電荷は逆の符号を持つ。電荷1に規格化しよう。したがって運動量のシフトはp\rightarrow p-qA+qA=pとなり、不変である。
しかし、ブレーンが複数枚あるときは話が変わってくる。n枚のブレーンの理論を考える。これは無質量レベルではU(n)ゲージ理論である。定数ゲージ場はゲージ変換で対角化可能である。

\begin{align}
\theta_i = q\oint dX^{25}A_{25,ii} = 2\pi R qA_{25,ii}
\end{align}
とすると qA_{25,ii} = \frac{\theta_i}{2\pi R}となる。したがってChan-Paton因子が(ij)の弦の運動量はp\rightarrow p-qA_{ii}+qA_{jj}とシフトする。すると

\begin{align}
X'(\pi)-X'(0) =& \int dX' \\
=&2\pi \alpha' (p-qA_{ii}+qA_{jj})\\
=&2\pi \alpha'(\frac{l}{R} -\frac{\theta_i}{2\pi R}+\frac{\theta_j}{2\pi R})\\
=&(2\pi l - \theta_i+\theta_j) R'
\end{align}
となる。よってブレーンの位置が一枚一枚シフトされることがわかる。これはU(n)理論がU(1)^n理論に破れたことを意味している。実際質量スペクトルは

\begin{align}
m^2 = (2\pi l - \theta_i+\theta_j)^2R'^2+\frac{1}{\alpha'}(N-1)
\end{align}
となり、ゲージボソンN=1,\quad l=0はブレーン間の距離に比例した質量を持つ。これがWボソンに相当する。これはブレーン上の場の理論の観点からは、ポテンシャル[A_{25},A_{25}]^2の自発的破れに対応する。

トーラスコンパクト化

閉弦のトーラスコンパクト化を考える。まずは空間次元一つがコンパクト化されているとする。

\begin{align}
X(\sigma +2\pi)=X(\sigma)+2\pi R w,\quad w\in \mathbb Z
\end{align}
Rはコンパクト化の半径である。Xの全微分をコンパクト化方向に積分すると次のようになる。

\begin{align}
\oint dX =  X(\sigma +2\pi)-X(\sigma)=2\pi R w
\end{align}
一方で

\begin{align}
\oint dX = \oint( dz \partial X+d\bar z \bar \partial X)
\end{align}
とも書ける。ローラン展開(8.2.4)を代入して

\begin{align}
\oint dX = 2\pi\Big(\frac{\alpha '}{2}\Big)^{1/2}(\alpha_0-\tilde \alpha_0)
\end{align}
を得る。\bar zでは経路が反転することに注意。

一方で時空の並進のネーターカレントはj_a^\mu = i\partial_a X^\mu/\alpha'であり、空間積分

\begin{align}
p^\mu =& \frac{1}{\pi}\oint dx^a j_a^\mu \\
=& \frac{1}{\pi}\int d\sigma^2 \sqrt g \partial_a j^{a\mu} \\
=& \frac{1}{2\pi}\int dzd\bar z  \partial_a j^{a\mu} \\
=& -\frac{1}{2\pi i}\oint (j^{z\mu} d\bar z - j^{\bar z \mu} d z )\\
=&\frac{1}{2\pi \alpha'}\oint (dz \partial X^mu-d\bar z \bar \partial X^\mu)\\
=& (2\alpha')^{-1/2}(\alpha_0^\mu+\tilde \alpha_0^\mu)
\end{align}
となる(一般性のために\muを付けたが、今は\mu=25のみを考えている)。
非コンパクト次元では常に w =0なので\alpha_0^\mu=\tilde \alpha_0\muとなるが、コンパクト次元ではw\neq 0となりうるので一般に\alpha_0^\mu\neq \tilde \alpha_0\muである。

 X = X_L(z)+X_R(\bar z)と分離し、(2.4.4)に代入する。(8.2.4)の展開を代入すればVirasoro演算子(8.2.8)を得る。質量殻条件は(8.3.1)(8.3.2)となる。

\begin{align}
m^2 = \frac{n^2}{R^2}+\frac{w^2 R^2}{\alpha'^2}+\frac{2}{\alpha'}(N+\tilde N-2)
\end{align}

開弦と向き付けられてない弦の1ループグラフ

(7.4.1)以降を解説する。
向き付けられてない閉弦の1ループグラフを考える。経路積分\Omega = 1の状態のみを取り出す。分配関数は次のように書ける。

\begin{align}
Z =& \int^\infty_0 \frac{dt}{2t}\mathrm{Tr'}_c\Big(\frac{1+\Omega}{2}\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]\Big) \\
=& \int^\infty_0 \frac{dt}{4t}\mathrm{Tr'}_c\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]+\int^\infty_0 \frac{dt}{4t}\mathrm{Tr'}_c\Big(\Omega\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]\Big)
\end{align}
第一項がトーラスで第二項がクラインボトルを表している。これは次のようにしてわかる。
第一項は定義より明らか。第二項の\Omegaは終状態の空間方向の向きづけを反転させるので次の図のようになる。
f:id:ground0state:20161121211650p:plain:w200
これはまさにクラインボトルである。

向き付けられてない開弦の1ループグラフは円筒とメビウスの輪の和になる。