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徒然なるままにQM

ただのメモ帳

ボソン弦のT-双対性

ポルチンスキー 物理

閉弦の質量スペクトル

\begin{align}
m^2 = \frac{n^2}{R^2}+\frac{w^2 R^2}{\alpha'^2}+\frac{2}{\alpha'}(N+\tilde N-2)
\end{align}
よりR\rightarrow 0でも軽くなる状態が存在する。これはKK粒子を持つ通常の場の理論には見られないことである。質量スペクトルは

\begin{align}
R' = \frac{\alpha'}{R} ,\quad n' = w,\quad w' =n
\end{align}
の変換の下で不変である。この変換を(8.2.7)に行うと

\begin{align}
\label{momentum_switch}
p'_L = p_L ,\quad p'_R = -p_R
\end{align}
となることがわかる。
そこで次のような場を定義する。

\begin{align}
X' = X_L(z)-X_R(\bar z)
\end{align}
この負の符号によって式(\ref{momentum_switch})が実現される。X'Xの定数部分は異なってしまうが、理論のスペクトルを決める\alpha_nなどはすべてX微分から構成されるので問題はない。したがってXX'の理論はパラメータの変換の下で等価になることがわかる。これをT-双対性という。

次に開弦のT-双対性を考える。
開弦の場合も

\begin{align}
X' = X_L(z)-X_R(\bar z)
\end{align}
の理論はスペクトルを変えない。この変換は弦の境界条件を変える効果がある。開弦っはz平面の上半平面で表された。z = x+iyとかくとy=0,\inftyが開弦の境界であった。これより

\begin{align}
\partial_x X =& \partial_x(X_L(x+iy)+X_R(x-iy))\\
=&\partial_y(-iX_L(x+iy)+iX_R(x-iy)) \\
=&-i\partial_y(X_L(x+iy)-X_R(x-iy))\\
=&-i\partial_y X'
\end{align}
となることがわかる。したがってT-双対変換は開弦の境界条件を変える。
さらに端点間の距離を求めてみよう。

\begin{align}
X'(\pi)-X'(0) =& \int dX' \\
=&\int dz \partial X'+d\bar z  \bar\partial X'\\
=&\int dz \partial X-d\bar z  \bar\partial X\\
=&2\pi \alpha' p\\
=&2\pi \alpha'\frac{l}{R}\\
=&2\pi lR'
\end{align}
ここで\partial X' = \partial X,\quad \bar\partial X' = -\bar \partial Xと運動量の定義(8.2.6)とKK運動量p=l/R,\quad l\in \mathbb zを用いた。これはT-双対な半径R' = \frac{\alpha'}{R}の円周に巻き付いていることを示している(他の次元の方向にはNeumann境界条件が課されているので、端点がくっついて閉じているわけではない)。
つまり、弦はコンパクト次元X'軸のX'=\mathrm{const}に端点をもつ。つまり、コンパクト化された時空間Xの中を泳いでいた開弦の理論は、X'=\mathrm(const)に端点を持つ開弦の理論と等価であるのだ。この弦の端点が乗っている物体こそがD-braneである(厳密にはコンパクト化された時空間Xも開弦が乗っていたわけだから最初からD-braneは存在していたのである。つまり、一方向をコンパクト化したD25-braneの理論のT-双対はD25-braneがコンパクト方向に潰れたD24-braneの理論になる)。

次に、コンパクト空間のゲージ場について考える。 U(1)ゲージ場は物理量に微分を通してしか現れないので、定数ゲージ場には普通意味がない。しかし、コンパクト空間の時は非自明な寄与をもたらす。
ゲージ場のコンパクト空間方向の積分\thetaとする。

\begin{align}
\theta = q\oint dX^{25}A_{25} = 2\pi R qA_{25}
\end{align}
よって qA_{25} = \frac{\theta}{2\pi R}とかける。ゲージ場があると正準運動量はp\rightarrow p-qAと変化する。U(1)ゲージ場と結合するのは、弦の端点であり、弦のカレント保存則よりそれぞれの端点の電荷は逆の符号を持つ。電荷1に規格化しよう。したがって運動量のシフトはp\rightarrow p-qA+qA=pとなり、不変である。
しかし、ブレーンが複数枚あるときは話が変わってくる。n枚のブレーンの理論を考える。これは無質量レベルではU(n)ゲージ理論である。定数ゲージ場はゲージ変換で対角化可能である。

\begin{align}
\theta_i = q\oint dX^{25}A_{25,ii} = 2\pi R qA_{25,ii}
\end{align}
とすると qA_{25,ii} = \frac{\theta_i}{2\pi R}となる。したがってChan-Paton因子が(ij)の弦の運動量はp\rightarrow p-qA_{ii}+qA_{jj}とシフトする。すると

\begin{align}
X'(\pi)-X'(0) =& \int dX' \\
=&2\pi \alpha' (p-qA_{ii}+qA_{jj})\\
=&2\pi \alpha'(\frac{l}{R} -\frac{\theta_i}{2\pi R}+\frac{\theta_j}{2\pi R})\\
=&(2\pi l - \theta_i+\theta_j) R'
\end{align}
となる。よってブレーンの位置が一枚一枚シフトされることがわかる。これはU(n)理論がU(1)^n理論に破れたことを意味している。実際質量スペクトルは

\begin{align}
m^2 = (2\pi l - \theta_i+\theta_j)^2R'^2+\frac{1}{\alpha'}(N-1)
\end{align}
となり、ゲージボソンN=1,\quad l=0はブレーン間の距離に比例した質量を持つ。これがWボソンに相当する。これはブレーン上の場の理論の観点からは、ポテンシャル[A_{25},A_{25}]^2の自発的破れに対応する。

トーラスコンパクト化

ポルチンスキー 物理

閉弦のトーラスコンパクト化を考える。まずは空間次元一つがコンパクト化されているとする。

\begin{align}
X(\sigma +2\pi)=X(\sigma)+2\pi R w,\quad w\in \mathbb Z
\end{align}
Rはコンパクト化の半径である。Xの全微分をコンパクト化方向に積分すると次のようになる。

\begin{align}
\oint dX =  X(\sigma +2\pi)-X(\sigma)=2\pi R w
\end{align}
一方で

\begin{align}
\oint dX = \oint( dz \partial X+d\bar z \bar \partial X)
\end{align}
とも書ける。ローラン展開(8.2.4)を代入して

\begin{align}
\oint dX = 2\pi\Big(\frac{\alpha '}{2}\Big)^{1/2}(\alpha_0-\tilde \alpha_0)
\end{align}
を得る。\bar zでは経路が反転することに注意。

一方で時空の並進のネーターカレントはj_a^\mu = i\partial_a X^\mu/\alpha'であり、空間積分

\begin{align}
p^\mu =& \frac{1}{\pi}\oint dx^a j_a^\mu \\
=& \frac{1}{\pi}\int d\sigma^2 \sqrt g \partial_a j^{a\mu} \\
=& \frac{1}{2\pi}\int dzd\bar z  \partial_a j^{a\mu} \\
=& -\frac{1}{2\pi i}\oint (j^{z\mu} d\bar z - j^{\bar z \mu} d z )\\
=&\frac{1}{2\pi \alpha'}\oint (dz \partial X^mu-d\bar z \bar \partial X^\mu)\\
=& (2\alpha')^{-1/2}(\alpha_0^\mu+\tilde \alpha_0^\mu)
\end{align}
となる(一般性のために\muを付けたが、今は\mu=25のみを考えている)。
非コンパクト次元では常に w =0なので\alpha_0^\mu=\tilde \alpha_0\muとなるが、コンパクト次元ではw\neq 0となりうるので一般に\alpha_0^\mu\neq \tilde \alpha_0\muである。

 X = X_L(z)+X_R(\bar z)と分離し、(2.4.4)に代入する。(8.2.4)の展開を代入すればVirasoro演算子(8.2.8)を得る。質量殻条件は(8.3.1)(8.3.2)となる。

\begin{align}
m^2 = \frac{n^2}{R^2}+\frac{w^2 R^2}{\alpha'^2}+\frac{2}{\alpha'}(N+\tilde N-2)
\end{align}

開弦と向き付けられてない弦の1ループグラフ

ポルチンスキー 物理

(7.4.1)以降を解説する。
向き付けられてない閉弦の1ループグラフを考える。経路積分\Omega = 1の状態のみを取り出す。分配関数は次のように書ける。

\begin{align}
Z =& \int^\infty_0 \frac{dt}{2t}\mathrm{Tr'}_c\Big(\frac{1+\Omega}{2}\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]\Big) \\
=& \int^\infty_0 \frac{dt}{4t}\mathrm{Tr'}_c\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]+\int^\infty_0 \frac{dt}{4t}\mathrm{Tr'}_c\Big(\Omega\exp[-2\pi t (L_0 + \tilde L_0)]\Big)
\end{align}
第一項がトーラスで第二項がクラインボトルを表している。これは次のようにしてわかる。
第一項は定義より明らか。第二項の\Omegaは終状態の空間方向の向きづけを反転させるので次の図のようになる。
f:id:ground0state:20161121211650p:plain:w200
これはまさにクラインボトルである。

向き付けられてない開弦の1ループグラフは円筒とメビウスの輪の和になる。

向き付けられていない弦

ポルチンスキー 物理

向き付けられていない弦の状態を定義する。これは世界面が向きづけられていない多様体になることを意味しない。世界面そのものは向きづけられた多様体として扱い、状態空間のレベルで向きの変換に対し不変な状態飲みを取り出してヒルベルト空間を構成する。
向きを変える変換を次のように定義する。閉弦に対して

\begin{align}
\Omega \hat X(\sigma^1) \Omega^{-1} = \hat X(2\pi - \sigma^1)
\end{align}
となる。開弦の時は2\pi\piに置き換える。閉弦と開弦の展開は次のように書けた。

\begin{align}
X^\mu = x^\mu-i\frac{\alpha'}{2}p^\mu\ln|z|^2+i(\frac{\alpha'}{2})^{1/2}\sum_{m=-\infty,m\neq 0}^\infty \frac{1}{m}(\frac{\alpha^\mu_m}{z^m}+\frac{\tilde \alpha^\mu_m}{\bar z^m})\\
X^\mu = x^\mu-i\alpha'p^\mu\ln|z|^2+i(\frac{\alpha'}{2})^{1/2}\sum_{m=-\infty,m\neq 0}^\infty \frac{\alpha^\mu_m}{m}(\frac{1}{z^m}+\frac{1}{\bar z^m})
\end{align}
ただし、座標は

\begin{align}
z=\exp[-iw]=\exp[-i(\sigma^1+i\sigma^2)]
\end{align}
である。
向きを変える変換は、閉弦ではz\leftrightarrow \bar z、開弦ではz\leftrightarrow -\bar zとなるものなので演算子としてはそれぞれ

\begin{align}
\Omega \alpha^\mu_m \Omega^{-1}= \tilde \alpha^\mu_m,\quad \Omega \alpha^\mu_m \Omega^{-1} = (-1)^m \alpha^\mu_m
\end{align}
となる。

以下では開弦の状態について考えよう(閉弦の場合も同様にして考えられる)。
\Omegaの状態に対する作用は

\begin{align}
\Omega|N;k> = (-1)^N|N;k>
\end{align}
となる。したがってレベルが偶数の状態のみが向き付けられていない弦の状態になる。質量スペクトルは

\begin{align}
m^2=\frac{1}{\alpha'}(N-1)
\end{align}
であるから、この理論には無質量状態は存在しない。

弦理論では無質量状態が主役になるので、無質量状態が存在するような理論を考えたい。
Chan-Paton因子を考慮する。

\begin{align}
\Omega|N;k;ij> = (-1)^N|N;k;ji>
\end{align}
元の状態|N;k;ij>U(n)の表現であったがU(n)リー代数を対称と反対称のものに分けることで

\begin{align}
\Omega|N;k;ij> = (-1)^N|N;k;ji>= (-1)^N(-1)^p|N;k;ij>
\end{align}
となる。pは対称に対して0となり、pは反対称に対して1となる。無質量状態の固有値1になるとき、理論は反対称の部分リー代数で生成されるSO(n)のゲージ群を持つ。

以上の\Omegaの作用に加えてU(n)も作用させることでより複雑な変換を構成できる。

\begin{align}
\Omega_{\gamma}|N;k;ij> = (-1)^N\gamma_{jj'}(\gamma^{-1})_{i'i}|N;k;j'i>
\end{align}
まず恒等的に\Omega^2_{\gamma}=1が成り立つべきであることを説明する。\Omega^2_{\gamma}を状態に作用させると

\begin{align}
\Omega^2_{\gamma}|N;k;ij> = ((\gamma^{\top})^{-1}\gamma)_{ii'}(\gamma(\gamma^\top)^{-1})_{jj'}  |N;k;i'j'>
\end{align}
となる。これは振動子の状態によらないので\Omega^2_{\gamma}は群の状態空間のみに作用する。表現基底の行列を$\lambda^a_{ij}$とすると\Omega^2_{\gamma}の作用は次のようになる。

\begin{align}
\lambda' = (\gamma^{\top})^{-1}\gamma\lambda\gamma^{-1}\gamma^\top 
\end{align}
ここで状態|a>\Omega_{\gamma}不変であると仮定しよう。すると当然\Omega^2_{\gamma}不変でもある。しかし、\Omega^2_{\gamma}は振動子の状態空間には作用しないので、群の表現に対する作用のみで固有値1にならなければならない。したがって恒等的に\Omega^2_{\gamma}=1が成り立たなければならない。さらに\lambdaが群を生成すると仮定し、完全系をなすとすればシューアの補題より(\gamma^{\top})^{-1}\gamma =\pm 1となる。これより

\begin{align}
\gamma^\top = \pm \gamma
\end{align}
となる。\gamma = \mathbb 1とすれば無質量状態はSO(n)理論になる。一方n=2kに対し

\begin{align}
\gamma =   \left(
    \begin{array}{cc}
      0 & I_{k\times k}  \\
      -I_{k\times k} & 0 
    \end{array}
  \right)
\end{align}
として、無質量状態が固有値1になるには

\begin{align}
\gamma \lambda^\top \gamma^{-1} = -\lambda
\end{align}
となる\lambdaを選べばよい。この\lambdaが生成する群はシンプレクティック群Sp(2k)を生成する。

以上より無質量状態の理論は
向きづけられているならばU(n)
向きづけられていないならばSO(n)もしくはSp(n=2k)
のゲージ群をもつゲージ理論になる。

スカラーの期待値

ポルチンスキー 物理

(6.2.18)を計算するための公式をメモ。

\begin{align}
:\partial X^\mu(z)::e^{ik \cdot X(0,0)}:=&-i\frac{\alpha' k^\mu}{2z}:e^{ik \cdot X(0,0)}: \\
:\partial X^\mu(z)::\partial X^\nu (0):=&\frac{\alpha'}{2z^2}\eta^{\mu\nu}\\
:\partial X^\mu(z)::\bar\partial X^\nu (0):=&-\pi \alpha'\delta^2(z,\bar z)\eta^{\mu\nu}
\end{align}

リーマン面に対する測度

ポルチンスキー 物理

(5.4.7)以降の解説をする。
この節はゴースト場b_{ab}の挿入が経路積分の計算でどのように計算されるかを説明している節である。(5.4.7)の前の式までは、モジュライは計量に押し付けられていたが、それを推移関数に押し付けることで計算を進めている。
まずBeltrami微分を定義する。

\begin{align}
\mu_{ka}^{ \ \ \ \ \ b} = \frac{1}{2}\hat g^{bc}\partial_k \hat g_{ac}
\end{align}
これはゴースト場b_{ab}の挿入を少し変形したものである。

\begin{align}
\frac{1}{2\pi}(b,\mu_k)=&\frac{1}{2\pi}\int d^2 \sigma \sqrt {\hat g} b^a_{\ \ \ b} \mu_{ka}^{ \ \ \ \ \ b} \\
=&\frac{1}{2\pi}\int d^2 \sigma \sqrt{\hat g} b^a_{\ \ \ b} \frac{1}{2}\hat g^{bc}\partial_k \hat g_{ac} \\
=&\frac{1}{4\pi}\int d^2 \sigma \sqrt{\hat g} b^{ac}\partial_k \hat g_{ac}\\
=&\frac{1}{4\pi}(b,\partial_k \hat g)
\end{align}
具体的に成分で書くと次のようになる。

\begin{align}
\frac{1}{2\pi}(b,\mu_k)=&\frac{1}{2\pi}\int d^2 \sigma \sqrt {\hat g}(b^z_{ \ \ \ \bar z}\mu_{kz}^{\ \ \ \bar z}+b^{\bar z}_{ \ \ \ z}\mu_{k\bar z}^{\ \ \ \  z})\\
=&\frac{1}{2\pi}\int dzd\bar z (b_{\bar z\bar z}\mu_{kz}^{\ \ \ \bar z}+b_{z z}\mu_{k\bar z}^{\ \ \ \  z})
\end{align}
ここでd^2\sigma=dzd\bar z,\hat g_{ab}=1/2 \delta_{ab}を用いた。b_{ab}は対称テンソルであることに注意。

さて、世界面上のm番目のパッチに注目しよう。今このパッチは座標 z,\bar zで張られているとする。モジュライ$t^k$を変化させると世界面の形が変形される。変形前のm番目のパッチ z,\bar zと変形後のm番目のパッチの座標 z',\bar z'が次のような関係にあるとする。

\begin{align}
z'=z+\delta t^k v_{k}^z(z,\bar z),\quad \bar z'=\bar z+\delta t^k v_{k}^{\bar z}(z,\bar z)
\end{align}
この変化に対し計量は次のように変化する。

\begin{align}
ds^2 =& dz'd\bar z'\\
=&\frac{\partial z'}{\partial x^a}\frac{\partial \bar z'}{\partial x^b}dx^a dx^b \\
=&\Big(1+\delta t^k (\partial v_k^z + \bar \partial v_k^{\bar z})\Big)dzd\bar z+\delta t^k(\partial v_k^{\bar z}dzdz + \bar\partial v_k^{z}d\bar z d\bar z)
\end{align}
ここでdzd\bar zの変化分\delta t^k (\partial v_k^z + \bar \partial v_k^{\bar z})は正則座標変換に相当するので、モジュライの本質ではなく、モジュライの変化によって生じる座標のずれと解釈される。重要なのは対角成分の変化で、これは正則座標変換に含まれないので真のモジュライの変化分である。

Beltrami微分の定義と比べると次の方程式が得られる。

\begin{align}
\mu_{k z}^{\ \ \ \  \bar z}=\frac{1}{2}\hat g^{zz}\partial_k \hat g_{zz} = \partial_k\hat g_{zz} = \partial v_k^{\bar z}
\end{align}
反正則の成分も同様である。これを用いるとb_{ab}の挿入は次のようになる。

\begin{align}
&\frac{1}{2\pi}\int dzd\bar z (b_{\bar z\bar z}\mu_{kz}^{\ \ \ \bar z}+b_{z z}\mu_{k\bar z}^{\ \ \ \  z}) \\
=&\frac{1}{2\pi}\int dzd\bar z (b_{\bar z\bar z}\partial v_k^{\bar z}+b_{z z}\bar \partial v_k^{ z})\\
=&\frac{1}{2\pi}\int dzd\bar z \Big(\partial(b_{\bar z\bar z} v_k^{\bar z})+\bar \partial(b_{z z} v_k^{ z})\Big)+(\mathrm{EOM}\times v)\\
\end{align}
最後にイコールは部分積分をした。末項の量はEOMに比例しており、経路積分するとゼロになる量なので考えなくてよい。
複素グリーンの定理を用いて

\begin{align}
=&\frac{i}{2\pi}\int_{C_m}b_{\bar z\bar z} v_k^{\bar z}d\bar z-b_{z z} v_k^{ z}dz
\end{align}
を得る。今はm番目のパッチの上のみで考えたが、本来はすべてのパッチで積分をするので次のようになる。

\begin{align}
\label{allpatch}
\frac{1}{2\pi}(b,\mu_k)=\frac{i}{2\pi}\sum_m\int_{C_m}b_{\bar z_m\bar z_m} v_{mk}^{\bar z_m}d\bar z_m-b_{z_m z_m} v_{mk}^{ z_m}dz_m
\end{align}

次に、v_k^{ z}を具体的にして計算をできるようにしたい。そこで隣接するパッチの間の関係に着目する。m番目のパッチとn番目のパッチが共通部分を持つとする。
m番目のパッチとn番目のパッチの推移関数が次のように与えられたとする。

\begin{align}
z_m = z_m(z_n)
\end{align}
モジュライを変化させるとm番目のパッチとn番目のパッチのそれぞれが変化するから次のようになる。

\begin{align}
v_{mk}^{z_m} = \frac{dz_m}{dt^k} =&  \frac{\partial z_m}{\partial t^k}\Big|_{z_n}+ \frac{d z_n}{d t^k}\frac{\partial z_m}{\partial z_n}\Big|_{t^k} \\
=&\frac{\partial z_m}{\partial t^k}\Big|_{z_n}+ v_{nk}^{z_n}\frac{\partial z_m}{\partial z_n}\Big|_{t^k} \\
=&\frac{\partial z_m}{\partial t^k}\Big|_{z_n}+ v_{nk}^{z_m}\Big|_{t^k} 
\end{align}
最後のイコールについてだが、t^kを止めての微分なのでただの正則座標変換になるので、ベクトルの正則座標変換側

\begin{align}
 v_{nk}^{z_n}\frac{\partial z_m}{\partial z_n}\Big|_{t^k} =  v_{nk}^{z_m}
\end{align}
になる。

(\ref{allpatch})m番目のパッチとn番目のパッチについて考える。

\begin{align}
\frac{1}{2\pi}(b,\mu_k) =& \frac{i}{2\pi}\int_{C_m}b_{\bar z_m\bar z_m} v_{mk}^{\bar z_m}d\bar z_m-b_{z_m z_m} v_{mk}^{ z_m}dz_m \\
& -\frac{i}{2\pi}\int_{\bar C_n}b_{\bar z_n\bar z_n} v_{nk}^{\bar z_n}d\bar z_n-b_{z_n z_n} v_{nk}^{ z_n}dz_n
\end{align}
ここで\bar C_nは経路C_nの経路の時計回りの方向の経路である。経路\bar C_nC_mが一致することを見よう。

f:id:ground0state:20161120182058p:plain:w150

上図を見てもらいたい。mパッチは外側には無限に広がっていると思ってほしい。これは例えばS^2を北極側と南極側の2枚のパッチで囲んだ状況に相当する。nパッチの境界の経路C_nは反時計回りである。一方で青い領域の境界の経路は時計回りである(S^2だということを考えてもらうとこれを理解できる)。したがって経路\bar C_nC_mは一致する。
具体例を見たが、ほかの状況についても同じことが成り立つ。したがって

\begin{align}
\frac{1}{2\pi}(b,\mu_k) =& \frac{i}{2\pi}\int_{C_{mn}}b_{\bar z_m\bar z_m} (v_{mk}^{\bar z_m}-v_{nk}^{\bar z_m})d\bar z_m-b_{z_m z_m} (v_{mk}^{ z_m}- v_{nk}^{ z_m})dz_m 
\end{align}
となる。ここでnパッチの積分は、座標変換して積分変数をmパッチに変えた。以上すべて合わせると次のようになる。

\begin{align}
\frac{1}{2\pi}(b,\mu_k)=\frac{i}{2\pi}\sum_{(mn)}\int_{C_{mn}}b_{\bar z_m\bar z_m} \frac{\partial \bar z_m}{\partial t^k}\Big|_{z_n}d\bar z_m-b_{z_m z_m} \frac{\partial  z_m}{\partial t^k}\Big|_{z_n}dz_m
\end{align}
これで(5.4.15)が得られた。

最後に(5.4.18)を得る計算をここにメモしておく。
モジュライはx_v,\bar z_vの二つである。したがってb_{ab}の挿入は

\begin{align}
\frac{1}{2\pi}(b,\mu_1)\frac{1}{2\pi}(b,\mu_2)
\end{align}
のように二つの積になる。モジュライによる微分

\begin{align}
\frac{\partial z'}{\partial z_v}\Big|_z=-1,\quad\frac{\partial z'}{\partial \bar z_v}\Big|_z=0,\quad\frac{\partial \bar z'}{\partial z_v}\Big|_z=0,\quad\frac{\partial \bar z'}{\partial\bar  z_v}\Big|_z=-1
\end{align}
なのでこれを代入して(5.4.18)を得る。

トーラスモジュライ

ポルチンスキー 物理

トーラスの計量が(5.1.9)のように書けることを示そう。

トーラスのトポロジーから座標は$x\sim x+ 2\pi,y \sim y+2\pi$のように周期的に書けているはずである。これを前提とする。
まず、トーラスが凸凹している可能性があるので、きれいな形=曲率がゼロのトーラスに変形しよう。計量にワイル変換$\tilde g_{ab} =e^{2\omega}g_{ab} $を施す。パラメータ$\omega$は
\begin{align}
2\nabla^2 \omega = R
\end{align}
を満たすようにとる。$R$は$\tilde g$のリッチスカラーである。(この方程式は局所的には解けるはずだが、誰か証明を教えてください)
$\omega$は
\begin{align}
\omega = f(x,y)+c
\end{align}
とかける。$c$は微分方程式からは決まらない定数である。この自由度はあとで用いる。
これで$\tilde g$のリッチスカラーはゼロになる。2次元ではこれはリーマンテンソルがゼロになることと同値なので、トーラスを平坦にできた。さらに座標変換$\tilde x^a = h^a(x,y)$を用いると計量を対角化できる。これによって計量を$\delta_{ab}$に変換できる。ただしこの座標変換によって周期性は変わってしまう。周期性を次のように書こう。
\begin{align}
\tilde x^a \sim \tilde x^a + 2\pi (mu^a+nv^a),\quad m,n\in \mathbb Z
\end{align}
これは$(\tilde x,\tilde y)$の2次元平面で$u^a,v^a$のベクトルがなす平行四辺形を基本領域とするトーラスになっていることを表している。さらに座標系の回転と計量のスケール変換で$u^a=(1,0)$にできる。この計量のスケール変換に、残っていた自由度$c$を用いる。周期は次のようになる。
\begin{align}
\tilde x \sim &\tilde x + 2\pi (m+nv^1) \\
\tilde y \sim &\tilde y + 2\pi n v^2
\end{align}
さて、\tau = v^1 + i v^2と書こう。$w = \tilde x + i \tilde y$とおくと計量は$ds^2 = dwd \bar w$とかける。周期性は

\begin{align}
w \sim w +2\pi m+2\pi n\tau
\end{align}
となる。これが計量ではなく、座標の方にモジュライを押し付けた形式である。
さらにw = \hat x + \tau \hat yとおくと計量はds^2 = dwd\bar w= |d\hat x+\tau d \hat y|^2とかける。周期性は

\begin{align}
\hat x\sim& \hat x+ 2\pi m \\
\hat y \sim& \hat y+2\pi n
\end{align}
となる。これがモジュライを計量の方に押し付けた形式である。

トーラスはモジュライ \tauによって特徴づけられる。トーラスには周期的な方向が2方向存在するが、その2方向の相対的な関係をモジュライによって記述する。つまり、それぞれの周期の比と相対角度である。より詳しくは
language-and-engineering.hatenablog.jp
の中の
http://www.imetrics.co.jp/academy/EllipticCurves&ModularForms.pdf
を参照してもらいたい。
ちなみに、特徴づける量が周期の比と相対角度のように複数あればモジュライ、ひとつならばモジュラスと言う。